已知：抛物线y= -x^2 +2x +8交X轴于A、B两点（A在B左侧），O是坐标原点。
1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合），D是OP中点，BD延长线交AP于E
问：在P点运动过程中，PE：PA是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。
2、在第1问的条件下，是否存在点P，使△PDE的面积等于1 ？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：1.y= -x^2 +2x +8=-(x-4)(x+2)
所以OA=2 OB=4
自己画图,由△面积等于底*高/2.
可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE
由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE
所以PE:EA=S△ODE:S△ADE
由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH
显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3
所以PE:EA=2:3
那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值
2.设P点为(X,Y)
PE：PA=2:5
所以S△PDE=(2/5)*S△PDA
S△AOP=Y*2/2=Y
S△AOD=Y/2(因为D是OP中点)
所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2
则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5
当S△PDE=1时 Y=5
对应X=-1或2
则P点坐标为(-1,5)或(2,5)
2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？
解：先建立直角坐标系
设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方 +6
当x=6时，y=0，a=1/6
解析式是 y=1/6 x的平方+6
当x=6-2=4时，y=3/10
因为顶部与。。。。有1/3的空隙
所以只能达到3米
（这题是要你看清题目中的条件，函数最重要的就是定义域，一定要准确把握定义域的范围）
3.平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。
（1）（6—x , 4/3 x ）; (2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6—x，MA边上的高为 x，其中，0≤x≤6.∴S= （6—x）× 4/3 x= (—x的平方+6x) = - 2/3 (x—3)的平方+6
∴S的最大值为6, 此时x =3. (3)延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP＝PA ∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若MP＝MA，则MQ＝6—2x，PQ= 4/3x，PM＝MA＝6—x
在Rt⊿PMQ 中，∵PM2＝MQ方＋PQ方 ∴(6—x)的平方=(6—2x)的平方+ ( 4/3x)的平方∴x= 108/43
③若PA＝AM，∵PA＝5/3 x，AM＝6—x ∴5/3 x=6—x ∴x= 9/4
综上所述，x=2，或x= 108/43，或x=9/4 。
已知:如图,在Rt三角形ABC中,角C=90度,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上，分别作DE垂直于AC，DF垂直于BC，垂足分别为E,F，得四边形DECF,设DE=x，DF=y
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）设四边形DECF的面积为S， 求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值
解：（1）∵DE⊥AC，而∠C=90°，∴DE‖BD，∴ΔADE∽ΔABC，
∵D在线段AB上，∴0<DE<BC，即0<DE<4；
∴AE/DE=AC/BC=8/4=2，∴AE=2DE=2x，∴EC=AC-AE=8-2x，
∵DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC，又DF=y，
∴y=8-2x，一般写作y=-2x+8；且0<x<4；
（2）矩形DECF的面积为：S=DE×DF，即S=x×y=x×(-2x+8)，
化简得：S=-2x2+8x，变形得S=-2(x-2)2+8，
即当x=2时，Smax=8。
注：第1问考察了相似三角形的运用，
第2问考察了函数极值的求法。
