已知正五边形abcde的边长为2√3 向量ac.向量ae的值为

Question

如题所述

Answer 1

∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离/2，
∴△ABC的面积＝2△PBC的面积，而△ABC的面积＝2，∴△PBC的面积＝1，
又△PBC的面积＝（1/2）PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC＝2/sin∠BPC。

由向量夹角公式，有：cos∠BPC＝向量CP·向量BP/（｜向量CP｜｜向量BP｜），
∴向量CP·向量BP＝PB×PCcos∠BPC＝2cos∠BPC/sin∠BPC。

由余弦定理，有：BC^2＝BP^2＋CP^2－2BP×CPcos∠BPC。
显然，BP、CP都是正数，∴BP^2＋CP^2≧2BP×CP，∴BC^2≧2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC。
∴向量CP·向量BP＋BC^2
≧2cos∠BPC/sin∠BPC＋2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC
＝2cos∠BPC/sin∠BPC＋4/sin∠BPC－4cos∠BPC/sin∠BPC
＝（4－2cos∠BPC）/sin∠BPC。

令∠BPC＝2x，则：
向量CP·向量BP＋BC^2
≧［4（cosx）^2＋4（sinx）^2－2（cosx）^2＋2（sinx）^2］/（2sinxcosx）
＝［（cosx）^2＋3（sinx）^2］/（sinxcosx）
＝cosx/sinx＋3sinx/cosx。

在△PBC中，显然有：0°＜∠BPC＜180°，∴0°＜2x＜180°，∴0°＜x＜90°，
∴cosx、sinx都是正数，∴cosx/sinx＋3sinx/cosx≧2√3，∴向量CP·向量BP＋BC^2≧2√3。
∴向量CP·向量BP＋BC^2的最小值为2√3。