4.已知函数f(x)= (-2^x+a)/[2^(x+1)+b](a,b为实常数)

Question

4.已知函数f(x)= (-2^x+a)/[2^(x+1)+b](a,b为实常数)
（1）,当a=b=1时，证明f(x)不是奇函数
（ 2）,设f(x)为奇函数，求a,b的值.
（3）求（2）中函数f(x)的值域
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Answer 1

解：（1）当a=b=1时，f(x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+1]
f(-x)=[-2^(-x)+1]/[2^(-x+1)+1]
=[-1/(2^x)+1]/[1/[2^(x-1)]+1]
=[-1+(2^x)]/[2+(2^x)]
假设f(x)是奇函数则
f(-x)=-f(x) ==> [-1+(2^x)]/[2+(2^x)]=-(-2^x+1)/[2^(x+1)+1]
==> [-1+(2^x)]/[2+(2^x)]= [-1+(2^x)]/[2^(x+1)+1]
==> [2^(x+1)+1]=[2+(2^x)]
==> 2-1=2^(x+1）-2^x=(2^x)(2-1)
==> 2^x=0
因为2^x=0显然不可能
所以f(x)不是奇函数
（2）由题意的
f(-x) =-f(x)
=>(-2^(-x)+a)/[2^(-x+1)+b]=-(-2^x+a)/[2^(x+1)+b]
=>[-1+a(2^x)]/[2+b(2^x)]=(2^x-a)/[2^(x+1)+b]
=>[a(2^x)-1]/[b(2^x)+2]=(2^x-a)/[2^(x+1)+b]
=>a=1,b=2 (看出来的，别的方法一时想不到）
（3）由（2）得
f(x)= (-2^x+1)/[2^(x+1)+2]
= [-(2^x+1)+2]/[2(2^x+1)]
=-1/2+1/(2^x+1)
因为2^x > 0
所以2^x+1 >1
=> 1/(2^x+1) <1
=> -1/2+1/(2^x+1) <1/2
即f(x)<1/2 ==> f(x)的值域为（-oo ,1/2).

Answer 2

解：(1) f（1）=1/10 , f(-1)=1/4. 因为f(-1)不等于-f(1), 所以x=1时f(-x)不等于-f(x) (举一个反例即可）故f（x）不是奇函数。
（2）令f（0）=0 解得a=1 再令f（-1）=-f（1）解得b=2 即f(x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+2] (*)
（再验证f（x）为奇函数）f（-x）=[-(1-2^x)/2^x]/[(2+2*2^x)/2^x]=(-1+2^x)/[2+2^(x+1)] (**)
对比（*）与（**）两式得f（-x）=-f（x）故f（x）为奇函数。
所以a=1 b=2时 f（x）为奇函数。
（3）由（2）得f（x）=(2^x+1)/[2^(x+1)-2] 令2^x=t （t＞0）得f(x)=[-(t-1)-2]/(2t-2)=-1/2-1/(t-1) 又因为t＞0即t+1＞1 所以f（x）的值域为（-∞，1/2）

Answer 3

buzhidao

Answer 4

你看奇函数的定义就知道了，照着套公式 ，很简单的 这种题太难表达了 ，就不回答了