怎样推导一元二次方程的求根公式？

Question

如题所述

Answer 1

一元二次方程求根公式详细的推导过程。
一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下，
1、ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，
2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，
3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a，
4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。
一、一元二次方程求根公式
1、公式描述：一元二次方程形式:ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）。

2、满足条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
（2）只含有一个未知数。
（3）未知数项的最高次数是2。

Answer 2

一元二次方程的求根公式，也被称为韦达定理或二次公式，是解决形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程的标准方法。这个公式是：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
下面是推导过程：
1. 假设我们有一个一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中a、b和c是常数，且a不等于0（因为如果a=0，那么这将不再是二次方程，而是一个线性方程）。
2. 我们可以尝试通过配方法或者因式分解来解这个方程，但这通常会变得复杂，尤其是当b^2 - 4ac的值不是完全平方数时。
3. 一个更通用的方法是使用求根公式，这是通过二次公式来找到二次方程的根。这个公式来自于二次方程的根与系数之间的关系。我们可以从二次方程的完成平方形式开始，即：
\[ ax^2 + bx = -c \]
将等式两边同时除以a，得到：
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]
4. 现在，我们将左侧配方，添加和减去相同的数（即(\(\frac{b}{2a}\))^2）：
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} \]
这可以重写为：
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \]
5. 然后，我们简化右边的表达式，将其整理为一个完全平方的形式：
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]
6. 接下来，我们取平方根，得到两个可能的解（因为一个正数有两个平方根，一个是正的，另一个是负的）：
\[ x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \]
7. 最后，移项得到x的值：
\[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
这就是一元二次方程的求根公式。如果b^2 - 4ac大于0，方程有两个实根；如果等于0，方程有一个重根；如果小于0，方程没有实根，但有复数根。