给定三阶方阵A：A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}，把第一行的第一个数字变成1，也就是用初等矩阵u来左乘A：u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}。
让第二行第一个数字变成0：把第三行乘以-d/p，加到第二行上，这个过程对应的初等矩阵是：v=I+(-d/p)*e_(2,3)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}}。
再把第一行乘以-p，加到第三行上；对应的初等矩阵是：w=I+(-p)*e_(3,1)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}}。
再把第三行第二个元素变成0：第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上，对应的初等矩阵是——x=I+(-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2)
={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}+ {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}}，注意此时的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩阵。
扩展资料：
注意事项：
1、一般行列式如果其各项数值不太大的话，可根据行列式Krj+ri和Kcj+ci不改变行列式值的性质将行列式化成上三角形和下三角形，用乘对角线元素的办法求行列式的值。
2、 如果行列式右上角区域处0比较多或通过交换行列式两行（或两列）能够将行列化成第七节课所说的分块形式（见下图）则用分块法计算行列式，即通过利用Krj+ri和Kcj+ci的性质和交换两行两列的方法将行列式化成分块形式计算行列式。
3、在通常情况下化行列式为上下三角形形式并不是一件很容易的事，除了一些特殊情况外（将在行列式计算笔记2中详细探讨）其解法可能是一件非常费力的事。
参考资料来源：百度百科-三阶行列式