谢谢，我想在你的回答基础上再说明清楚一些,另外再追问一些问题
追答初等变换只不过是对行或者列做加和乘两种代数运算，这是不会改变最大线性不相关组的。
假定你的最大线性不相关组是 v1，。。。，vk，即
a1v1+。。。+akvk=0，是不存在非0解的。
初等变换只能是把 vi 变成 c*vi，或者 vi=vj+vm，或者交换 vi，vj，这三种操作，不论那一个都不可能改变以上方程“不存在非0解”这一代数性质。所以初等变换不改变秩。
"行的最大线性不相关组和列的最大线性不相关组的向量数量是相同的"是和“A^T 和 A 的秩相同”等价的。只证明一个就行了。这个有点忘了，我查了，最快的证明好像是：
1.显然，Ax=0 ==> A^T Ax =0
2. 若 A^T Ax =0, 则 x^TA^T Ax =0, 即 ||Ax||^2=0 所以，Ax=0。
这样，就有 Ax=0 A^T Ax =0，即矩阵A 和 A^T A 是具有相同的列线性无关组的，所以，rank(A)=rank(A^T A)，但是，显然，rank(A^T A)<=rank(A^T) (因为矩阵A^T A的列都是矩阵A^T 的列的线性组合)，所以，rank(A) <=rank(A^T)。
同样的，对A^T运用以上方法，可得 rank(A^T) <=rank(A)。
所以，最后 rank(A^T)=rank(A)=rank(A^T A)=rank(A A^T) 。
看了你的证明，很有帮助。说一下行列式，它很抽象，我的理解：行列式是在进行高斯消元法完成后对角线主元的乘积（但行列式的最基本的三个性质）怎么从高斯消除法中得到呢？因为从这个三个性质可以推导出行列式所有性质，并得到克莱姆法则
下面的图片是我对行秩和列秩相同的一个说明（没有用行列式，和教材上面的K阶字式证明不一样），还有一些疑问，请过目