一切x和y属于R，f(x+y)=f(x)f(90°-y)+f(90°-x)f(y). (1)求f(0), f(90°） （2）求证f(x)奇函数

Question

一切x和y属于R，f(x+y)=f(x)f(90°-y)+f(90°-x)f(y).
(1)求f(0), f(90°）
（2）求证f(x)奇函数

Answer 1

你这个题目有点问题 ，因为这个函数不一定是奇函数 ， 下面是证明

F0代替F（0） F90代替F（90） F90-X代替F（90-X） 以次类推
(1) F0+0=F0=F0F90+F90F0 ① F90+0=F90=F90F90+F0F0 ②
由 ① ②
得F0=0 F90=0 或 F90=0.5 F0= 0.5 或者F90=0.5 F0= —0.5 （舍去）
舍去原因如下：
若F90=0.5 F0= —0.5 成立 ， 则F45=F45+0=F45F90+F45F0=0
又F90=F45+45=F45F45+F45F45 =0.5 则F45=0.5或者F45= —0.5
矛盾
（2） 当F0=0 F90=0 时 FX=FX+0=FXF90+F90-XF0=0 显然这是个奇函数
当F90=0.5 F0= 0.5时 FX=F0+X=F0F90-X+F90FX 得到FX=F90-X
又F90=FX+90-X=FXFX+F90-XF90-X =2FXFX=0.5 则FX=0.5 或者FX= —0.5（舍去）
则FX=0.5 为一常数，代入此函数的定义 FX+Y=0.5 FX=FX-90==FY=0.5 则 f(x+y)=f(x)f(90°-y)+f(90°-x)f(y) =0.25+0.25=0.5恒成立 即FX=0.5成立 则FX 为偶函数。

Answer 2

1设x任意，y=0
f(x)=f(x)f(90°)+f(90°-x)f(0) 因为x任意 则f(x)=f(x)f(90°) f(90°-x)f(0)=0
f(90°)=1 f(0)=0

2令x=y f(2x)=2f(x)f(90°-x)

f(90°+x)=f(90°)f(90°-x)+f(0)f(x)=f(90°-x)
f(180°)=2f(90°)f(0)=0
=f(90°+x+90°-x)=f(90°+x)f(x)+f(90°-x)f(-x)=f(90°-x)[f(x)+f(-x)]

x任意 f(x)+f(-x)=0 f(x)奇函数本回答被网友采纳

Answer 3

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