麻烦谁帮我讲一下模和谱还有诺特环的概念

Question

我是本科的，那本抽象代数只讲了群环域还有扩域，没有讲到谱和模还有诺特环。我交换环，整环，除环，域之类的都已经看过了，麻烦帮我简单阐释一下模和谱还有诺特环的概念行么？（只要概念就可以，我明白是个什么东西就行，不用太深的，我也不打算研究生选择基础数学的方向）

Answer 1

为了方便，我只写左模了，反正是有左模就有右模，等等。

简单地说，模是环上的线性空间。设R是一个环，它上的模M是一个交换群，这个群得运算记为+，同时还有一个运算R × M → M，可以看做数乘，对于所有r,s属于R，x,y属于M：
r(x + y) = rx + ry
(r + s)x = rx + sx
(rs)x = r(sx)
1x = x（1是环的乘法单位，如果有的话）。

诺特环是一种特别的环，它的理想满足升链条件，因为我不会打包含符号，我就用文字叙述了。设环R中有一系列的理想，I1, I2, I3,...，每一个都是后一个的子集，升链条件说的是，存在一个数n，使得In=I(n+1)=...。

数学里有不少都叫谱，不知道你问的是什么，不过一般指在数学分析里出现的概念。如果是和代数几何相关的概念，可能指的是下面说的。简单地说，一个交换环的谱就是这个环里所有的素理想，它们构成一个拓扑空间（Zariski拓扑）。如果再结合它的结构层，就是仿射概型的概念。