当面临积分问题 ∫(sinx)/(1+cosx) dx，我们可以通过巧妙的代换技巧来求解。首先，让我们将原式转换，这一步骤至关重要：
原式等于 ∫(1/(1+cosx)) d(-1-cosx)，这里我们利用了三角恒等式 1 - cos²x = sin²x，将原积分中的分母转化为 -1 - cosx。
接下来，我们可以对该表达式进行部分分式分解，将 1 写成 1/(1+cosx) = A/(1+cosx) + B/(1-cosx) 的形式，通过解这个方程组找到 A 和 B 的值。通过简单的代数运算，我们得到 A = 1/2 和 B = 1/2。
然后，我们将原积分重写为：
∫(1/2(1/(1+cosx) + 1/(1-cosx))) d(-1-cosx)
接着，我们分别对这两个部分进行积分，运用基本的三角函数积分公式。对于 1/(1+cosx)，积分结果是 ln|1+cosx|，而 1/(1-cosx) 的积分需要使用辅助角公式或者查表得到 ln|secx + tanx|。
将两部分合并，我们得到：
1/2[ln|1+cosx| - ln|1-cosx|] + C
这里 C 是积分常数，代表所有可能的解。最后，我们可以利用对数的运算法则简化得到：
1/2[ln|(1+cosx)/(1-cosx)|] + C = 1/2[ln|2sin²(x/2)|] + C
因为 sin²(x/2) 可以进一步简化为 1-cosx，我们最终得到积分的结果：
1/2[ln|2(1-cosx)|] + C = ln|sqrt(2)sin(x/2)| + C
这就是求解 ∫(sinx)/(1+cosx) dx 的完整过程，通过代换和三角恒等式，我们巧妙地转化并求得了答案。