已知f(X)是定义域R不恒为0的函数，

Question

已知f(X)是定义域R不恒为0的函数，且对于任意的a.b属于R，都满足f(a.b)=af(b)+bf(a),求f(0)和f(1)，并且判断奇偶性

Answer 1

1.令a=1 b=1
f(1)=f(1)+f(1) so: f(1)=0

令b=0 a=0
f(0)=0+0=0 so: f(0)=0

2.判断奇偶：
令a=-1,b=-1

f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0 so: f(-1)=0

b=-1

f(-a)=af(-1)-f(a)=-f(a)
所以为奇函数

Answer 2

取a=b=0,带入得到：f(0)=0.
取a=b=1,代入得到：f(1)=2f(1),f(1)=0;
取a=-1,b=-1，代入得：f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,f(-1)=0;
f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，为奇函数。

Answer 3

f(a.b)中的a和b是相乘的关系吗？