证明函数的极限的方法如下：
一、应用夹逼定理证明。
二、应用单调有界定理证明。
三、从用极限的定义入手来证明。
四、应用极限存在的充要条件证明。
一、应用夹逼定理证明
如果有函数f(x),g(x),h(x),满足g(x)≤f(x)≤h(x),Limg(x)=Limh(x)=A，则Limf(x)=A。
用夹逼定理时，由给出的数列放大、缩小，在放大、缩小时，不要改变起主要作用的n最高次方项，并且要求放大、缩小后的表达式极限相等，是夹逼定理的关键。
二、应用单调有界定理证明
若数列递增且有上界，或数列递减且有下界，极限存在。单调有界定理对函数的极限也成立。
三、从用极限的定义入手来证明
以数列为例，设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε（不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限。
四、应用极限存在的充要条件证明
即函数左极限等于右极限，数列奇子列极限等于偶子列极限。
知识拓展：
1、函数的极限的性质
（1）函数极限的唯一性
若limf(x)存在,则极限唯一。以上性质的证明与数列极限的性质类似。
（2）函数极限的局部有界性
若在某个过程下,f(x)有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后f(x)有界。
（3）函数极限的局部保号性
（4）函数极限的保序性
（5）函数极限的迫敛性
2、函数极限的概念
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的函数极限证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。