第一类曲线积分是对于参数曲线上的函数进行积分运算的一种方法。其计算公式如下：
设有参数曲线C：\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t属于闭区间[a,b]。函数f(x,y,z)在曲线C上有定义且连续，那么可以计算出曲线C上函数$f(x,y,z)$的第一类曲线积分。
第一类曲线积分的计算公式为：int_{C}f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))\,|\mathbf{r}'(t)\dt
其中，ds表示弧长微元，mathbf{r}'(t)表示参数曲线关于参数t的导数向量，\mathbf{r}'(t)|表示导数向量的模长。
一、曲线C的参数化表示：
曲线C的参数化表示为\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)，y(t)，z(t)分别表示曲线C上点的坐标与参数t的关系。通常在求解第一类曲线积分时，需要将曲线C的参数化表示确定下来。
二、弧长微元的计算：
曲线C上任意两点P和Q之间的弧长可以通过积分来表示为：s=\int_{P}^{Q}ds，其中，ds表示弧长微元。在参数曲线表示下，我们可以通过导数向量\mathbf{r}'(t)的模长来表示弧长微元：ds=\mathbf{r}'(t)\dt其中，dt表示参数微元。
三、第一类曲线积分的计算过程：
根据第一类曲线积分的定义和公式，计算过程如下：
1.确定参数曲线C的参数化表示\mathbf{r}(t)。
2.将函数f(x,y,z)代入到参数曲线对应的坐标(x(t),y(t),z(t))中。
3.将函数f(x,y,z)代入到计算结果中，得到被积函数f(x(t),y(t),z(t))。
需要注意的是，在实际计算中，可能需要将参数曲线C分成多个参数区间，并在每个参数区间上分别计算第一类曲线积分，然后将结果进行累加求和。