设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1=（2,3,4,5）T（此向量是列向量，后同）；η2+η3=（1,2,3,4）T，求该方程组的通解。
分析如下：四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，那么它对应的齐次线性方程组的解空间是1维的（4-3=1），所以所求的通解形式能够确定了，就是k*a1+a2，其中a1是它对应的齐次线性方程组的一个解，a2是四元非齐次线性方程组的一个特解，因此，求a1，a2即可，求法如下：
η1=（2，3，4，5）T，η2+η3=（1，2，3，4）T都是原方程的解，所以如果原方程为A*x=b，那么A*2η1=2b,A*(η2+η3)=2b,两式相减，得a1=（3，4，5，6）T
而a2即可取η1=（2，3，4，5）T，所以通解为k*（3，4，5，6）T+（2，3，4，5）T
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通解为齐次方程通解+非齐次方程特解，由于r(A)=3，n-r(A)=1，所以通解为k*(η1+η2+η3)+η1=k*（3，4，5，6）T+（2，3，4，5）T
因为ξ1，ξ2，ξ3为非齐次线性方程组的三个解向量，而且非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3。
根据定义，非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。所以将ξ1，ξ2，ξ3代入Ax=b得到，Aξ1=b，Aξ2=b，Aξ3=b等式两边成立。因为非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，根据解的结构知，Ax=b的基础解析只有一个。
解法
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）