微积分系列1（持续更新）
微积分的基石：极限的世界
微积分，这座科学大厦的基石，起始于对数列和函数变化趋势的深刻洞察。首先，我们来探讨两个关键的概念——数列极限和函数极限。
数列极限：探索规律的边界
数列极限定义了一个数列趋近于某个值的过程，遵循加减乘除的运算规则，但特别有趣的是，尽管0.9无限循环看似接近1，它们并不等价。数列极限揭示了数列行为的内在规律，理解其定义（ε—N定义）和性质，如唯一性和有界性，是微积分探索的起点。
函数极限：描绘变化的微细趋势
函数极限则更深入地探讨函数在x趋近于x0时的变化趋势。无论是x趋向无穷大还是x趋向一个特定值，函数极限都展示了函数行为的连续性。它与导数和连续性的定义紧密相连，揭示了函数在某一点上的瞬时变化率。
导数的诞生：速度的瞬间转折点
导数的概念起源于观察匀速运动，它是速度的瞬时变化率，通过处理分母极限为0的情况，定义了斜率的极限。导数不仅体现了函数的陡峭程度，而且与函数的连续性有深刻的联系，导数存在意味着函数在该点可微分。
微分与积分的对话：变化与积聚的桥梁
微分，作为导数的精确表达，关注增量比的极限。它不仅是导数的近似，也是理解函数图形斜率的关键。定积分则是微分的逆运算，用于求和面积，通过原函数简化问题。微分和积分符号的引入，分别由牛顿和莱布尼茨奠定，它们的符号背后隐藏着深远的数学理念。
超越基础：更复杂的极限应用
除了基本的导数和积分，我们还探索了反函数、隐函数和高阶导数的极限。在这些复杂的函数中，导数和积分继续发挥着在求解变化率和积分问题时的核心作用。
总结来说，数列和函数极限是微积分的基石，它们的定义、运算规则和应用为后续深入的微积分理论奠定了基础。理解极限的本质，是把握微分与积分这两个关键概念的关键，它们在科学和工程中的应用无处不在。