（xsinx)²在0到π上的定积分

Question

（xsinx)²在0到π上的定积分步骤

Answer 1

解：∵sin²x=(1-cos2x)/2，

∴∫x²sin²xdx

=∫x²(1-cos2x)dx/2

=x³/6-(1/4)∫x²d(sin2x)。

而，∫x²d(sin2x)

=x²sin2x-∫2xsin2xdx

=x²sin2x+xcos2x-∫cos2xdx

=x²sin2x+xcos2x-(1/2)sin2x+C，

∴∫(0,π)x²sin²xdx

=[x³/6-(1/4)(x²sin2x+xcos2x)+(1/8)sin2x]丨(x=0,π)

=π³/6-π/4。

扩展资料：

性质

1、当a=b时， 

2、当a>b时，

3、常数可以提到积分号前。

4、代数和的积分等于积分的代数和。

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使

参考资料：百度百科——定积分

Answer 2

解：分享一种解法。∵sin²x=(1-cos2x)/2，
∴∫x²sin²xdx=∫x²(1-cos2x)dx/2=x³/6-(1/4)∫x²d(sin2x)。
而，∫x²d(sin2x)=x²sin2x-∫2xsin2xdx=x²sin2x+xcos2x-∫cos2xdx=x²sin2x+xcos2x-(1/2)sin2x+C，
∴∫(0,π)x²sin²xdx=[x³/6-(1/4)(x²sin2x+xcos2x)+(1/8)sin2x]丨(x=0,π)=π³/6-π/4。
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