线性代数，行列式交换任意两行行列式变号一次，那么这两行一定要相邻吗？如果是矩阵呢？矩阵用变号吗，为

Question

线性代数，行列式交换任意两行行列式变号一次，那么这两行一定要相邻吗？如果是矩阵呢？矩阵用变号吗，为什么？谢谢

Answer 1

行列式行行之间、列列之间交换不必相邻。矩阵行列互换不用变号，互换后相当于左乘或右乘一个初等矩阵，不再是原先的矩阵，但是和原先的矩阵相似，拥有相同的特征值。追问

乘上得这个初等矩阵是？

还有一个，矩阵某行直接除以二，结果的矩阵还是等于原来的矩阵？

追答

如果交换行，那么左乘一个初等矩阵：这个初等矩阵是对角阵I（有些书上记作E，就是除主对角线全是1之外全是零的矩阵）的相应行互换。
比如交换一二行：
1 2 3 4 5 6
4 5 6 → 1 2 3
7 8 9 7 8 9
相当于左乘交换了一二行之后的对角阵I
4 5 6 0 1 0 1 2 3
1 2 3 = 1 0 0 · 4 5 6
7 8 9 0 0 1 7 8 9

交换列则右乘这个初等矩阵，同样是对角阵I交换对应列之后的结果。

乘以二之后不再是原来的矩阵。

追问

有点蒙，乘一个新的矩阵不是就变了吗，不是原来的矩阵了

追答

是的，确实是变成一个全新的矩阵了。
但是由于这两个矩阵是相似的，具体来讲是两个通过行列互换、行列互相加减、行列自乘以一个常数的两个矩阵是相似的。（又或者是合同的，记不太清了。）总之，这样的两个矩阵不一样。
但是！他们拥有相同的秩（rank），所以通过这一系列操作得到的虽然是不同的矩阵，但是可以更加方便地判断秩。

追问

谢谢，很细致的回答。