幂级数展开里的一个问题 想请教一下

Question

这道题 lnx展开成x-2 标准答案就是我纸上写的这个 然后我自己用导数 再积分的方法做时 如果我积分下限取2 可以得到和标准答案一样的形式 但如果我下限取1 就是 想f（x）-f（1）=f（x） 其中f（1）等于0 这样直接得出f（x） 但这样写出的形式就和答案不同了（没有ln2 这一项了） 想请问下 如果我下限取1 这样子做到底对不对（PS之前我问过一个同学 他说我积分积错了 这地方请大家注意一下 本来展开后n应该从0开始 但是我为了形式简洁写成n从1开始了 大家注意一下 肯定不是这地方错了）

Answer 1

1、求和的下标，从几开始，没有任何关系。

     求和不是死死的一定从几开始，那是花拳绣腿的人才会有的穿凿附会行为；

     求和具体从几开始到无穷大，取决于求和式的实质意义，而不是表面符号。

     这一点，楼主只要心细，不要拘泥于牵强附会的表面形式。

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2、至于积分从几开始积分，那就是一个严格的理论问题了。

     第一、

     任何展开，都有展开的区域，或称为收敛域，积分就必须在收敛域内积分；

     第二、

     更重要的是，级数展开与级数求和，积分导数并列使用时，最关键的是积分下限

     的确定，确定的原则是【不能改变题意】！也就是英文中的：

     keep the question unchanged！keep same meaning as original！

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具体解说，请参看下图。

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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。

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Answer 2

中心点是 2，当然积分区间应取 [2, x]。