线代的题目 例17中，评注说ABC选项线性无关，请问怎么证明，多谢

Question

如题所述

Answer 1

假设任何含有a2向量的3向量组是线性无关的，不妨设a1，a2，a3是线性相关的。
根据线性相关的定义，必然能找到一组不全为0的系数k1，k2，k3使得
k1a1+k2a2+k3a3=0成立
那么就有k1a1+k2a2+k3a3+0*a4=0成立
所以（k1，k2，k3，0）^T（k1，k2，k3不全为0）也是Ax=0的一个解。
而（k1，k2，k3，0）^T和题目给出的（1，0，-1，2）^T线性无关
因为如果有系数m、n使得m（k1，k2，k3，0）^T+n（1，0，-1，2）^T=0成立
从最后一个元素看，就是m*0+2n=0成立，所以n=0，而n=0后，n（1，0，-1，2）^T就是0向量了，这样就要求m（k1，k2，k3，0）^T也等于0向量，又因为k1，k2，k3不全为0，所以m也必须等于0。所以找不到不全为0的m、n，使得m（k1，k2，k3，0）^T+n（1，0，-1，2）^T=0成立
即（k1，k2，k3，0）^T和（1，0，-1，2）^T线性无关，这和题目说基础解系只有1个向量矛盾。
所以a1，a2，a3线性无关。
类似的，也可以证明a2，a3，a4和a1，a2，a4这样含a2的3向量组都是线性相关的。