假设任何含有a2向量的3向量组是线性无关的,不妨设a1,a2,a3是线性相关的。
根据线性相关的定义,必然能找到一组不全为0的系数k1,k2,k3使得
k1a1+k2a2+k3a3=0成立
那么就有k1a1+k2a2+k3a3+0*a4=0成立
所以(k1,k2,k3,0)^T(k1,k2,k3不全为0)也是Ax=0的一个解。
而(k1,k2,k3,0)^T和题目给出的(1,0,-1,2)^T线性无关
因为如果有系数m、n使得m(k1,k2,k3,0)^T+n(1,0,-1,2)^T=0成立
从最后一个元素看,就是m*0+2n=0成立,所以n=0,而n=0后,n(1,0,-1,2)^T就是0向量了,这样就要求m(k1,k2,k3,0)^T也等于0向量,又因为k1,k2,k3不全为0,所以m也必须等于0。所以找不到不全为0的m、n,使得m(k1,k2,k3,0)^T+n(1,0,-1,2)^T=0成立
即(k1,k2,k3,0)^T和(1,0,-1,2)^T线性无关,这和题目说基础解系只有1个向量矛盾。
所以a1,a2,a3线性无关。
类似的,也可以证明a2,a3,a4和a1,a2,a4这样含a2的3向量组都是线性相关的。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考