第1个回答 2007-03-09
2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意:
1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.
2.本试卷共有22道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题(本大题满分48分,本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分)
1. 计算: = .
2. 方程log3(2x-1)=1的解x= .
3. 函数f(x)=3x+5,x∈[0,1] 的反函数f (x)= .
4. 不等式 >0的解集是 .
5. 已知圆C:(x+5)2+y2=r2(r>0)和直线l:3x+y+5=0.若圆C与直线l没有公共点,则r的取值范围是 .
6. 己知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)
时,f(x)= .
7. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).
8. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 .
9. 在⊿ABC中,已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C= .
10. 若向量 、 的夹角为150°,│ │= ,│ │=4,则│2 + │= .
11. 己知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
12. 同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高,这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a1,a2…,an满足a1≤a2≤…≤an ,则
(结论用数学式于表示).
二、选择题(本大题满分16分,共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结沦是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分。)
13. 抛物线y2=4x的焦点坐标为 ( )
A. (0,1) B.(1,0) C. (0,2) D. (2,0)
14. 若a、b、c∈R,a>b,则下列下等式成立的是 ( )
A. B. a2>b2 C. D. a│c│>b│c│
15. 若k∈R,,则“k>3”是“方程 表示双曲线”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 若集合A={y│y=x ,-1≤x≤1},B={y│y=2- ,0<x≤1},则A∩B等于 ( )
A. (-∞, -1] B.[-1,1] C.Φ D. {1}
三、解答题(本大题满分86分,共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。)
17. (本题满分12分)在长方体 中,已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的大小(结果用反三角函数表示).
18. (本题满分12分) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i为虚数单位),z= ,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2小题,第1小题满分8分, 第2小题满分6分.
已知函数f(x)=2sin(x+ )-2cosx,x∈[ , ].
(1) 若sinx= ,求函数f(x)的值;
(2) 求函数f(x)的值域.
20. (本题满分14分) 本题共有2小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 =1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0, )为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
21. (本题满分14分) 本题共有3小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
设函数f(x)= │x2-4x-5│
(1) 在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
(2) 设集合A={x│f(x)≥5},B=(-∞, -2)∪[0,4]∪[6, +∞),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
(3) 当k>0时,求证:在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方.
22. (本题满分18分) 本题共有3小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
已知数列al,a2…,a30,其中al,a2…,a10是首项为1公差为1的等差数列;
al0,a11…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=40,求 d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;
(3)续写己知数列,使得a30,a31…,a40是公差为d3的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题,((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一、(第1至12题) 每题填对得4分,否则一律得零分
1. 2. 2 3. (x-5), x∈[5,8] 4. (-1, ) 5. (0, ) 6. -x-x4
7. 48 8. 9. 10. 2 11. 4
12. (1≤m<n)和
(1≤m<n)
二、(第13至16题) 每题填对得4分,否则一律得零分
13. B 14. C 15. A 16. B
三. (第17至22题)
17. [解法一]连接A¬1D
∵A¬1D‖B1C, ∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角 ……4分
连接BD,在△A¬1DB中,AB=A¬1D=5,BD=4 ……6分
cos∠BA1D=
= = ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos ……12分
[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. ……2分
则A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0),
得 =(0,4,-3), =( -4,0,-3) ……6分
设 与 的夹角为θ,
cosθ= = ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos ……12分
18. [解法一]∵ω(1+2i)=4+3i, ∴ω= =2-i ……4分
∴z= +│-i│=3+i ……8分
若实系数一元二次方程有虚根z=3+I,则必有共轭虚根 =3-i.
∵ z+ =6, z =10
∴所求的一元二次方程可以是x2-6x+10=0 ……12分
[解法二]设ω=a+bi(a、b∈R)
a+bi-4=3i-2ai+2b
得 a-4=2b a=2
b=3-2a ∴ b=-1 ∴ω=2-i, ……4分
以下解法同[解法一]
19. [解](1) ∵sinx= , x∈[ , ],∴cosx=- ……2分
f(x)=2( sinx+ cosx)-2cosx
= sinx-cosx= + ……8分
(2) f(x)= 2sin(x- ) ……10分
∵ ≤x≤ , ∴ ,
≤sin(x- )≤1 ……14分
∴函数f(x)的值域[1,2]
20. [解](1)设曲线方程为y=ax2+ ,
由题意可知,0=a•64+ , ∴a=- ……4分
∴曲线方程为y=- x2+ . ……6分
(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知
=1 (1)
y=- x2+ (2) 得4y2-7y-36=0,
y=4或y=- (不合题意,舍去) ∴y=4 ……9分
得x=6 或x=-6(不合题意,舍去).
∴C点的坐标为(6,4), ……11分
,
答: 当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2 、4时,应向航天器发出变轨指令
……14分
21. [解](1)
……4分
(2)方程f(x)=5的解分别是2- ,0, 2+ ,由于f(x)在(-∞, -1]和[2,5]上单调递减,在[-1,2]和[5,+ ∞)上单调递增,因此
A=(-∞, 2- ]∪[0,4]∪[2+ + ∞). ……8分
由于2+ <6, 2- >-2, ∴B A ……10分
(3) [解法一]当x∈[-2,5]时,f(x)=-x2+4x+5,
G(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x+(k-4)x+(3k-5)
=(x- )2- ……12分
∵k>2, ∴ <1,又-1≤x≤5,
① 当-1≤ <1,即2<x≤6时,取x= .
g(x)mix= =- [(k-10)2-64].
∵16≤(k-10)2<64 ∴(k-10)2-64<0
则g(x)mix>0 ……14分
②当 <-1,即k>6时,取x=-1,
g(x)mix=2k>0.
由①②可知,当k>2时,g(x)>0, x∈[-1,5].
因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. ……16分
[解法二]当x∈[-1,5]时, f(x)=-x2+4x+5.
由 y=k(x+3)
f(x)=-x2+4x+5 得x+(k-4)x+(3k-5)=0.
令△=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18, ……12分
在区间[-1,5]上,当k=2时, y=2(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像只交于一点(1,8);
当k=18时, y=18(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像没有交点. ……14分
如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0), 当k>2时, 直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到. 因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. ……16分
22. [解](1) al0=10, a20=10+10d=40, ∴d=3 ……4分
(2) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0) ……8分
a30=10[(d+ )2+ ],
当d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a30∈[ ,+∞). ……12分
(3) 所给数列可推广为无穷数列{ an},其中al,a2…,a10是首项为1公差为1的等差数列,
当n≥1时, 数列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为dn的等差数列. ……14分
研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围 ……16分
研究的结论可以是: 由a40= a30+10d3=10(1+d+d2+ d3),
依次类推可得 a10(n+1)= 10(1+d+d2+…+ dn)= 10• (d≠1),
10(n+1) (d=1)
当d>0时, a10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等 ……18分