f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数，证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀，跪求

如题所述

第1个回答 2013-10-12

由莱布尼兹高阶导数公式：
e^(-x)*x^n的n阶导数
=e^(-x)的n阶导数*x^n+C(n,1)e^(-x)的(n-1)阶导数*nx^(n-1)+C(n,2)e^(-x)的(n-2)阶导数*n(n-1)x^(n-2)+...+C(n,n)e^(-x)*n!
=e^(-x)[(-1)^n*x^n+C(n,1)(-1)^(n-1)*nx^(n-1)+C(n,2)(-1)^(n-2)*n(n-1)x^(n-2)+
....+n!]
方括号里是一个n次多项式，故在复数范围内：
f(x)恰有n个零点

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f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数,证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀...答：f(x) = e^(-x)*x^n =0 e^(-x)恒不为0，只有：x^n=0 此方程根据代数学基本定理，在复数域有n个零点。

f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数,证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀...答：=e^(-x)[(-1)^n*x^n+C(n,1)(-1)^(n-1)*nx^(n-1)+C(n,2)(-1)^(n-2)*n(n-1)x^(n-2)+ ...+n!]方括号里是一个n次多项式，故在复数范围内：f(x)恰有n个零点

f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数,证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀...答：=e^(-x)∑(k=0,n)Akx^k 由f(x)=0，那么∑(k=0,n)Akx^k=0，由于An=C(n,n)(-1)^n不为0，这是一个1元n次方程，故f(x)=0恰有n个根，即f(x)恰有n个零点。

急求:证明对于函数f(x)=(x^n)/(e^(-x)),它的n阶导数乘以e^x在R内有n...答：f(x)=x^n×e^x 它的t阶导数为f(t)(x)=[C(0,t)x^n+C(1,t)P(1,n)x^(n-1)+C(2,t)P(2,n)x^(n-2)+……+C(t,t)P(t,n)x^(n-t)]e^x 其中C(x,y)表示组合数，上面x，下面y；P(x,y)表示排列数，上面x，下面y ∴f(x)的n阶导数乘以e^=[C(0,n)x^n+C(...

已知f(x)=e^(-x^2 )证明方程f(x)的n阶导数=0恒有n个根答：f'(x)=-2xe^(-x^2), 有根x=0 f"(x)=e^(-x^2)*[ (-2x)^2-2]=-2e^(-x^2)*(2x^2-1), 有2个不同根由数学归纳法，假设f^k(x)有k个不同根，则可令f^k(x)=ae^(-x^2)(x-x1)(x-x2)...(x-xk)其中x1<x2<...<xk 故g(x)=f^(k+1)(x)=ae^(-x^...

...且f(x。)=f’(x。)=...=f^(n)(x。)=0 证明,f(x)=o[(x-x。)^n...答：利用TAYLOR公式

如何证明函数f(x)=x^n的导数f'(x)=n答：幂函数f（x）＝x ^n，其导数为f＇（x）＝nx^（n－1），证明其导数利用导数定义f＇（x）＝lim△y／△x，（△x趋于0）。证法一：n为自然数 f＇（x）＝lim【（x＋△x）^n一x^n】／△x ＝lim｛（x^n＋Cn 1x^（n－1）△x＋Cn 2x^（n－2）△x^2＋…＋Cn n△x^n）－x^n...

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