一道简单的高中函数题目，高手进

Question

为了写的更清楚，我多用了几个括号
设函数 f(x) = lnx - 【(kx-a) / （根号下ax）】- lna(x>0,a>0且a为常数)
1.当k=1时候，判断函数f(x)的单调性，并加以证明
2，当k=0时，求证f(x)>0对一切x>0恒成立

Answer 1

解：1、易求得f(x)的定义域为（0，＋∞）
当K=1时，f(x)=lnx－(x-a)／√ax－lna
＝lnx－√x/a＋√a/x－lna＝lnx/a－√x/a＋√a/x
令t=√x/a＞0,易得到随着X的增加，t也在增加，反之亦然
f(x),g(t)具有相同单调性
则f(x)=g(t)=lnt²－t＋1/t=2lnt－t＋1/t
g′(t)=2/t－1－1/t²＝－(1/t－1)²≤0,当且仅当t=1即x=a时等号成立
g(t)在（0，＋∞）上是减函数
∴f(x)在（0，＋∞）上是减函数
2、当K=0时，f(x)=lnx＋a/√ax－lna=lnx/a＋√a/x
t=√x/a＞0，则x/a=t²,√a/x=1/t
∴f(x)=g(t)＝2lnt＋1/t
g′(t)=2/t－1/t²＝（1/t）（2－1/t）
∴当0＜t＜½,g′(t)＜0
t=½,g′(t)=0
t＞½,g′(t)＞0
∴t=½,g(t)取得极小值
g(½)＝2-2ln2＞0
∴g(t)在（0，＋∞）上恒大于0
即f(x)在（0，＋∞）上恒大于0

Answer 2

1.当k=1时候，有：
f(x)=lnx-(x-a)/√ax-lna
f'(x)=(1/x)-[√ax-a(x-a)/2√ax]/ax
=(1/x)-[2ax-(x-a)a]/(2ax√ax)
=(1/x)-(x+a)/(2√a*x^(3/2)]
=(2√ax-x-a)/[2√ax^(3/2)]
=-(√x-√a)^2/[2√ax^(3/2)].
因x>0,所以：x^(3/2)>0,所以有，在定义域内，f'(x)<0,所以函数在定义内为减函数。

2.当k=0时候，有：
f(x)=lnx+a/√ax-lna
f'(x)=1/x-√a*(-1/2)x^(-3/2)=x^(-1)-(1/2)√a*x^(-3/2)=x^(-3/2)(√x-√a/2).
令f'(x)=0,得到√x=√a/2，即：x=a/4.
所以当x>a/4,函数单调递增，当0<x<a/4,函数单调递减，因此，当x=a/4处取到最小值，最小值为：
f(x)min=f(a/4)=ln(a/4)+√a/√a/4-lna=ln(a/4)-lna+2=ln(1/4)+2=2-ln4>0,所以，对于函数f(x),在整个定义域内恒大于0。

Answer 3

1.当k=1时候，有：
f(x)=lnx-(x-a)/√ax-lna
f'(x)=(1/x)-[√ax-a(x-a)/2√ax]/ax
=(1/x)-[2ax-(x-a)a]/(2ax√ax)
=(1/x)-(x+a)/(2√a*x^(3/2)]
=(2√ax-x-a)/[2√ax^(3/2)]
=-(√x-√a)^2/[2√ax^(3/2)].
因x>0,所以：x^(3/2)>0,所以有，在定义域内，f'(x)<0,所以函数在定义内为减函数。

2.当k=0时候，有
f(x)=lnx+a/√ax-lna
y=x/a，y>0
f(y)=lny+y^(1/2)
f‘(y)=1/y-1/2y^(-3/2)
f‘(y)=0 => y=1/4 最小值
f(1/4)=-ln4+2>0
所以f(x)>0对一切x>0恒成立

Answer 4

1、当k=1时候 f(x) = lnx -[ (x-a) / （根号下ax）]- lna
然后对此函数进行求导f‘(x)=1/x-[根号下ax*-(x-a)*1/2*1*根号下ax] 又因为[根号下ax*-(x-a)*1/2*1*根号下ax] 大于等于2*[根号下ax*(a-x)*1/2*1*根号下ax] 即为（a-x）所以f‘(x)大于等于2-a,接着只要对a>2 0 <a<2 a=2进行讨论就行了，当f‘(x)>0则单调递增，当f‘(x)<0则单调递减
2、当k=0时，f(x) = lnx - lna，所以f‘(x)=1/x，x>0时在f(x)>0区域中f(x)单调递增，所以恒成立

Answer 5

1.当k=1时候，有：
f(x)=lnx-(x-a)/√ax-lna
f'(x)=(1/x)-[√ax-a(x-a)/2√ax]/ax
=(1/x)-[2ax-(x-a)a]/(2ax√ax)
=(1/x)-(x+a)/(2√a*x^(3/2)]
=(2√ax-x-a)/[2√ax^(3/2)]
=-(√x-√a)^2/[2√ax^(3/2)].
因x>0,所以：x^(3/2)>0,所以有，在定义域内，f'(x)<0,所以函数在定义内为减函数。

2.当k=0时候，有：
f(x)=lnx+a/√ax-lna
f'(x)=1/x-√a*(-1/2)x^(-3/2)=x^(-1)-(1/2)√a*x^(-3/2)=x^(-3/2)(√x-√a/2).
令f'(x)=0,得到√x=√a/2，即：x=a/4.
所以当x>a/4,函数单调递增，当0<x<a/4,函数单调递减，因此，当x=a/4处取到最小值，最小值为：
f(x)min=f(a/4)=ln(a/4)+√a/√a/4-lna=ln(a/4)-lna+2=ln(1/4)+2=2-ln4>0,所以，对于函数f(x),在整个定义域内恒大于0。