常微分方程的二阶非齐次线性的特解是怎么求出来的，二阶齐次微分方程求通解是根据什么？通俗一点，谢谢！

Question

常微分方程二阶的非齐次的特解是怎么来的呢

Answer 1

考虑平面的表示方法
Ax+By+Cz=D
如果(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)是齐次方程的两个线性无关解,(x0,y0,z0)是非齐次方程的解,那么平面可表示为
(x,y,z)=C1(x1,y1,z1)+C2(x2,y2,z2)+(x0,y0,z0)
即不共线的两个向量和空间中的一个点可以确定一个平面
这样,令
(x,y,z)=(x,x',x'')
微分方程方程A(t)x+B(t)x'+C(t)x''=D(t)的解为
(x,x',x'')=C1(x1,x1',x1'')+C2(x2,x2',x2'')+(x0,x0',x0'')
即
x=C1x1+C2x2+x0
所以n个线性无关的解可以表示一个n阶线性方程的通解