椭圆ax^2+by^2=1与直线X+Y-1=0相交于AB两点,C是AB中点,若AB=2根号2,0为

Question

椭圆ax^2+by^2=1与直线X+Y-1=0相交于AB两点,C是AB中点,若AB=2根号2,0为原点,OC斜率为2。求椭圆方程

Answer 1

把y=1-x,①代入椭圆方程得ax^2+b(1-2x+x^2)=1,
整理得(a+b)x^2-2bx+b-1=0,
△=4b^2-4(a+b)(b-1)=4(a+b-ab),
AB=√(2△)/|a+b|=2√2，
平方，化简得a+b-ab=(a+b)^2,②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b/(a+b),
∴xC=(x1+x2)/2=b/(a+b),
由①，yC=1-xC=a/(a+b),
∴OC的斜率=a/b=2,a=2b,③
代入②，3b=11b^2,b>0,b=3/11,
代入③，a=6/11,
∴所求的椭圆方程是6x^2/11+3y^2/11=1.

Answer 2

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）
联立：{ax²+by²=1，
{x+y-1=0
（a+b)x²-2bx+b-1=0
可得： {x1+x2=2b/（a+b）
{x1·x2=（b-1）/（a+b）
dAB=√2·√[2b/（a+b）]²-[4(b-1)/(a+b)]=2√2
整理得:a²+b²+3ab-a-b=0 ①
{x0=(x1+x2)/2 即{x0=b/（a+b）
{y0=(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2 {y0=a/（a+b）
koc=y0/x0=a/b=√2/2 ②
①②联立，解得：a=1/3，b=√2/3

Answer 3

解：画出图像可知在直线3x-y-6=0与直线x-y+2=0处 目标函数z=ax+by取得最大值12
两直线交点为(4,6) ∴4a+6b=12 即2a+3b=6
(2/a+3/b)(2a+3b)=4+9+6(b/a+a/b)≥13+12=25
∴2/a+3/b ≥25/6
2/a+3/b 的最小值为25/6