用简便方法计算下面的题

Question

1×2+2×3+3×4+4×5……+99×100的倒数的和是多少

Answer 1

这一题如果拿高中的知识来衡量的话,应该是等比数列计算的一个应用.
1×2+2×3+3×4+4×5……+99×100的倒数和,应该写成(1/1x2)+(1/2x3)+(1/3x4)+(1/4x5)+....(1/99x100)
其实(1/1x2)=1-1/2
(1/2x3)=1/2-1/3
(1/3x4)=1/3-1/4
(1/4x5)=1/4-1/5
.
.
.
( 1/99x100)=1/99-1/100
所以1×2+2×3+3×4+4×5……+99×100的倒数和,
(1/1x2)+(1/2x3)+(1/3x4)+(1/4x5)+....(1/99x100)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+....(1/99-1/100)=1-1/100=99/100
注意:此方法是利用了等比数列中的裂项法,使其前后两项相消,只剩下第一项和最后一项,从而使问题得到解决.
这种方法是很常见的方法,如果没有学习等比数列,不太好观察,你可以记下这种方法,以后在遇见这种类型的题目,应该能想到这种方法.

Answer 2

1*2的倒数就是1/(1*2).
2*3的倒数就是1/(2*3).
......
1/(1*2)=1/1-1/2.
1/(2*3)=1/2-1/3.
......
1/(99*100)=1/99-1/100,
所以:
所求的和
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)
=1/1-1/100=99/100.

Answer 3

用裂项法再累加

裂项法:

分子/差 X (1/小 - 1/大)

Answer 4

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