因为每个矩阵都可以通过初等变换,得到唯一的标准型与之对应,而标准型中的非零行数就是秩。不管通过初等行变换来求行秩,还是初等列变换求列秩,最终都可以化成这个唯一的标准型,且行秩(或列秩),就等于秩。
矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。
列秩应用
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组只要有一个解。在这种情况下,它有精确的一个解,如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则通解有k个自由参量,这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。
在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。
参考资料来源:百度百科——矩阵的秩
参考资料来源:百度百科——列秩
这是因为每个矩阵都可以通过初等变换,得到唯一的标准型与之对应,而标准型中的非零行数就是秩。不管通过初等行变换来求行秩,还是初等列变换求列秩,最终都可以化成这个唯一的标准型,且行秩(或列秩),就等于秩。
在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。
在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。
扩展资料:
设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
矩阵的行秩,列秩,秩都相等。初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。
令A是一个m×n矩阵,定义rk(A)为A的列秩,A为A的共轭转置或称施密特转置。首先可知AAx= 0当且仅当Ax= 0。
AAx= 0 ⇒xAAx= 0 ⇒(Ax)(Ax)= 0 ⇒ ‖Ax‖= 0 ⇒ Ax = 0,其中‖·‖是欧氏范数。这说明A的零空间与AA的零空间相同。由秩-零化度定理,可得rk(A) = rk(AA)。AA的每一个列向量是A的列向量的线性组合。所以AA的列空间是A的列空间的子空间,从而rk(AA) ≤ rk(A)。
即: rk(A) = rk(AA) ≤ rk(A)。 应用这一结果于A可或得不等式: since (A)=A,可写作rk(A) ≤ rk((A)) = rk(A),这证明了rk(A) = rk(A),证毕。
参考资料来源:百度百科——矩阵的秩
参考资料来源:百度百科——列秩
这个怎么求未知数啊
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