数学难题几何

Question

如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，且DE⊥AB，DF⊥AC。AD⊥EF，垂足分别为点EFG.
1.证明A、E、D、F四点在以AD为直径的圆上
2.AD是否平分角BAC?试说明理由

Answer 1

1、证明：
在Rt△AED中，O是斜边AD中点
∴OE=AO=BO
在Rt△ACD中，O是斜边AD中点
∴OF=AO=BO
∵OF=AO=BO=OE
∴点A、E、D、F在以O为圆心的圆上，即在以AD为直径的圆上。
2、.
AD平分∠BAC
证明：
∵点A、E、D、F在以O为圆心的圆上,且AD为直径
AD⊥EF
∴弧FD=弧ED
∴∠FAD=∠EAD

Answer 2

1. 以 AD 为直径作圆，假定圆弧与 DF 相交于 F', 圆的直径对应的圆弧角是直角，所以，
角AF'D 是直角；而过 A 作 DF 的垂线，有且只有一条，所以 AF' 与 AF 重合，F 就是 F', 在以 AD 为直径的圆上
同理，E 也在以 AD 为直径的圆上

2. 是
取 AD 的中点 O, 可见 O 是以 AD 为直径的圆的圆心
考虑两个直角三角形 OFG, OEG, 它们的斜边都是圆的半径，OF = OE
还有共同的直角边 OG, 那么根据勾股定理，另一个斜边 FG = EG

这样，直角三角形 FGA, EGA 全等（边角边，FG=EG, 两个直角，AG 重合）
角FAG EAG 相等，AD 平分 BAC

Answer 3

1、证明：以AD为直径画圆，因为直径所对应的圆周角为直角，又角AFD、AED都是直角，所以点E、F都在以AD为直径的圆周上，所以,A\E\D\F四点共圆。
2、因EF垂直AD，垂直于直径的弦被直径垂直平分，所以AD是EF的中垂线，则三角形AEF为等腰三角形，AD是角平分线，即AD平分角BAC.

Answer 4

1. 以 AD 为直径作圆，假定圆弧与 DF 相交于 F', 圆的直径对应的圆弧角是直角，所以，
角AF'D 是直角；而过 A 作 DF 的垂线，有且只有一条，所以 AF' 与 AF 重合，F 就是 F', 在以 AD 为直径的圆上
同理，E 也在以 AD 为直径的圆上

Answer 5

⒈因为AF与DF垂直，AE与DE垂直，所以AEFD四点在以为直径的圆上。⒉平分。因为EF垂直于直径AD，所以EF被AD平分，所以三角形AGF与AGE相似，即角A被平分。