奇函数0点的连续性。例如x^3 奇函数0点的极限，左极限为负无穷小，有极

Question

奇函数0点的连续性。例如x^3
奇函数0点的极限，左极限为负无穷小，有极限为无穷小。那么根据定义，x=0这个点为跳跃间断点？

Answer 1

x^3在x=0点的左右极限都是0，是连续的。
大概是x^（1/3）吧？其实直接说1/x就清楚了
注意，跳跃间断点指的是，左右极限都存在，但是不相等的间断点。
而极限存在（含左右极限存在）指的是极限为有限常数的情况。
极限无穷大（含正无穷大和负无穷大）是极限不存在的一种。
所以例如1/x这个函数，在x=0点处，左极限是-∞，右极限是+∞
不能说左右极限不相等，因为两个单边极限都是无穷大，无穷大和无穷大之间谈不上相等或不相等，不能说+∞=+∞，-∞=-∞，+∞=-∞；也不能说+∞≠+∞，-∞≠-∞，+∞≠-∞
以上的等于和不等于都不能说。无穷大之间，不能比较是否相等
所以1/x这个函数也就不能说在x=0点的左右极限都存在但不相等，所以是跳跃间断点这句话了。
而只能说1/x这个函数在x=0点的单边极限是无穷大，所以x=0是这个回答的无穷间断点。
关键是极限无穷大，属于极限不存在的一种情况。追答

无穷小，不分+无穷小和-无穷小。因为无穷小的极限是0，+0和-0都是0，所以这不是左右极限不相等的情况，而是左右极限相等的情况。而x³在x=0点有定义，函数值等于极限值，所以是连续点。

追问

那一个函数左极限为负无穷小，右极限为无穷小，那么在这点可导吗？

那一个函数左极限为负无穷小，右极限为无穷小，那么在这点可导吗？

追答

我说过了，无穷小不存在正负之分，无穷小的极限就是0，你觉得0分正负吗？你觉得+0和-0有区别吗？既然无穷小部分正负，无穷小就是无穷小，所有的无穷小，极限都相等，都是0。大概你是看了无穷大，分正无穷大和负无穷大，就想仿效无穷大也分个正无穷小和负无穷小。但是说过了，无穷小不分正负，所有的无穷小，极限都是0，极限都相等。
左右极限都是无穷小，只能说在该点有极限，还不能说一定连续，如果函数值不等于0，那么这点就是可去间断点，当然不可导。
即使连续，也不一定可导，例如|x|的x=0的左右极限都是无穷小，所以在这点的极限就是0，但是在这点不可导。
切记切记，所谓的负无穷小、正无穷小，完全是无稽之谈，根本就没这样的说法，无穷小部分正负，这点必须切记切记，以后千万不要再说什么正无穷小和负无穷小之分了。

我也很奇怪，你为什么这么坚决的要分所谓的正无穷小和负无穷小。