无穷级数敛散性判定，∑1/n² 和∑1/n 为什么分别是收敛和发散？

Question

基础不好，麻烦高手稍微讲解详细点~

Answer 1

0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n所以收敛

至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，

ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n

所以1/n > ln(n+1)-ln(n)

所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。

扩展资料：

对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：

(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散。如果趋千零，则考虑其它方法。

(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了。但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法。

(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效。如果无效，再考虑用比较判别法。对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大。

(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛。当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数。

(5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。

参考资料：百度百科——收敛性

Answer 2

0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n所以收敛
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时时，ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n
所以1/n > ln(n+1)-ln(n)
所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛本回答被提问者采纳

Answer 3

推介看一下这篇文档：
http://wenku.baidu.com/view/7ab443c508a1284ac8504360.html
正项级数，用比值判别法，自己算一下。
1/n^p
0<p<=1 发散
P>1 收敛