微积分的题求解

Question

将f(x)=1/(3-x)展开为x的幂函数，并确定收敛域。

y=1/x,y=x与x=2所围成的图形的面积,及该图形围绕x旋转所得到的立体体积。

已知某产品产量的变化率是时间t（单位：年）的函数f(t)=2t+5（t≥0),求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少？

∞
判断∑n(n+1)(x的n次方)的收敛域，以及他们在收敛域内的函数.
n=2
跪求答案啊。

Answer 1

2 2
2,面积=∫ （x-1/x)dx=(1/2x²-lnx)| =3/2-ln2
1 1
2 2
体积=∫ πx²dx-∫ π(1/x)²dx=π/2
1 1

5
3,第一个五年为∫ （2t+5)dt=50
0
10
第二个五年为∫（2t+5)dt=100
5

4，

Answer 2

1. 这就是一个a1=1/3, q=x/3的等比数列的求和公式，
f(x)= 1/3 + 1/3 (x/3) + 1/3 (x/3)^2 +....
很显然，收敛条件是|q|<1，所以收敛半径是3

2.3,另外一位求好了
4：收敛半径等于(n)项的系数除以(n+1)项系数在n趋于无穷大时的极限，显然是 1
至于函数，
S(x)=∑n(n+1)x^n = x∑n(n+1)x^(n-1)
很显然∑n(n+1)x^(n-1)是∑x^(n+1)的两次导数后的导函数
而(利用等比数列求和)∑x^(n+1)= x/(1-x)
对上述函数 两次求导数就可以得到

∑n(n+1)x^(n-1)= d(d(x/(1-x))/dx)/dx = d{[(1-x)+x]/(1-x)^2}/dx=d(1/(1-x)^2)/dx = 2/(1-x)^3
所以S(x)=2x/(1-x)^3