求复变函数高手解答 ∮(sinz) / (z(z-1)^2) dz，|z|=4

Question

如题，求复变函数高手解答 ∮(sinz) / (z(z-1)^2) dz，|z|=4。
题目应该不难，只是我学的太菜不会。
这个内容是在高等教育出版社复变函数第四版的第三章“复变函数的积分”里。
急求，在线等。要详细步聚。
话说是不是用到柯西积分公式？
有高手会的麻烦帮下忙，万分感谢！

Answer 1

用柯西积分公式，以及它的推论(高阶导数公式），首先，分解1/(z(z-1)^2) ＝1/z - 1/(z-1)＋1/(z-1)^2，其次，原积分＝∮sinz/z dz - ∮sinz/(z-1) dz ＋ ∮sinz/(z-1)^2 dz＝2πi×sin0-2πi×sin1＋2πi×cos0＝0－2πsin1 i＋2πi＝2π(1-sin1)i。

复变函数

是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

Answer 2

用柯西积分公式，以及它的推论(高阶导数公式）
首先，分解1/(z(z-1)^2) ＝1/z - 1/(z-1)＋1/(z-1)^2
其次，原积分＝∮sinz/z dz - ∮sinz/(z-1) dz ＋ ∮sinz/(z-1)^2 dz＝2πi×sin0-2πi×sin1＋2πi×cos0＝0－2πsin1 i＋2πi＝2π(1-sin1)i本回答被提问者采纳

Answer 3

∮|z|=2 sinz/z(1-e2）dz
路径内有一个奇点z=0，所以积分等于该点留数
sinz = z - z^3/3! + z^5/5! - ...
sinz/z = 1 - z^2/3! + z^4/5! - ...
可见z=0是一个可去奇点。故积分等于0

∮|z|=3 z-3/(z+1)(z-4)dz
不知道z-3有没有括号？路径内有一个奇点z=-1
算这点的留数就行

∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
路径内有一个3级极点z=1
令z-1=w
e^z/(z-1)^3
= e^(w+1)/w^3
= e*e^w/w^3
= e*(1+w+w^2/2++...)/w^3
= e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )
所以∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
= ∮|z|=3 [e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )]dz
= ∮|z|=3 [e/2w]dz
= ∮|z|=3 [e/2(z-1)]dz
= e/2*∮|z|=3 1/(z-1) d(z-1)
= e/2 * 2PI * i
= e * i *PI

∮|z|=2 （e2-1）2/ln(1+z)sinz dz
ln(1+z)多值，是不是要指定一个分支？本回答被网友采纳