运用泰勒公式证明不等式

Question

设f(x)在[a，b]上一阶可导，在（a，b）上二阶可导，且满足f'(a)=f'(b)=0,证明存在x属于（a，b）使得|f''(x)|>=4 |f(b)-f(a)| /(b-a)^2

Answer 1

此处给出一个当[a,b]为[0,1]时的证明过程，很容易将其修改为[a,b]区间的证明，[a,b]的证明在此处输入很不方便。

证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0, x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ
f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,
所以 Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ<= 1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ( x0)^2+1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+ (1-x0)^2]
<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ