二元函数连续的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：

1、若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。 

2、证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, 

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)

=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] 

=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y 

=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y 

=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 

而||≤|α|+|β|, 

所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),

即f(x,y)在点M可微。

拓展资料：

1、设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。

2、且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.

3、一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.

4、二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。

5、f为定义在点集D上的二元函数.P0为D中的一点，对于任意给定的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P在P0的δ临域和D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D在点P0处连续。

6、若f在D上任何点都连续,则称f是D上的连续函数。

参考资料：百度百科-二元函数