什么是导数

Question

如题所述

Answer 1

以下真是个人整理的，不是COPY别人的
就是有个图，因为插入图片麻烦，所以没有插入，比较遗憾

▲导数与微分
1、概念
(1)由于自变量x的变化，引起函数y=f(x)变化的快慢问题——函数的变化率，称为导数。
(2)由自变量的微小改变，(增量|△x|很小时)引起y=f(x)的改变量△y的近似值问题：微分问题。
(3)求导数(求微分)的方法——微分法。
2、两个实例
(1)直线运动的瞬时速度问题：
设质点沿着直线做非匀速运动，其走过的路程S与时间t的函数关系为S=s(t)，
求某一时刻t。时的瞬时速度。
解：设从t。到t。+△t这段时间内，质点所走过的路程为△S

△S=s(t。+△t)-s(t。)

从t。到t。+△t内的平均速度是
V平=△S/△t=[s(t。+△t)-s(t。)]/△t

当△t很小时，对非匀速运动而言，平均速度V平可以做为t。时刻瞬时速度的近似值。即v|t=t。≈V平
△t越小，V平与v|t=t。越接近
如果△t->0，V平的极限存在
limV平=lim(△S/△t)=lim[s(t。+△t)-s(t。)]/△t=V。
则有v|t=t。≡v。

(2)曲线在一点处的切线斜率（如图）
切线：当P’->P。时，割线P。P’的极限位置P。T称为曲线的切线。

割线：P。(x。,f(x。))，P’(x。+△x,f(x。+△x))

斜率k割=tana1=△y/△x=[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

当△x->0时，切线P。T的斜率k=tana=limk割=lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

其中a为切线P。T的倾象。

▲导数的定义：

(1)导数定义形式一：设y=f(x)在N(x。,δ)内(δ>0)有定义，
当自变量x在x。点有改变量△x，(△x∈N(x。,δ))，
函数y=f(x。)相应的增量为△y=f(x。+△x)-f(x。)。
如果当△x->0时，lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x存在，则称函数y=f(x)在x。点可导，并称此极限值为y=f(x)在x。点的导数。记为:

y’|x=x。，或f’(x)，或dy/dx|x=x。,或df(x)/dx|x=x。
即当△x->0时，f’(x。)=lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

直线运动的瞬时速度，V|t=t。=s’(t)|t=t。
曲线在(x。，f(x。))的切线斜率k|x=x。=f’(x。)

(2)导数定义形式二：y=f(x)在x。点的导数
记x=x。+△x，△x=x-x。
当△x->0时，x->x。
△y=f(x。+△x)-f(x。)=f(x)-f(x。)

当△x->0时，f’(x。)=lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

即当x->x。时，f’(x。)=lim[f(x)-f(x。)]/(x-x。)

▼若y=f(x)在x。可导，记为f(x)∈D{x。}

若y=f(x)在(a,b)内可导，记为f(x)∈D(a,b)

若y=f(x)在I可导，记为f(x)∈D(I)

若y=f(x)在(a,b)内可导，任意x∈(a,b)，就有f’(x)与x对应，由函数定义，可知f’(x)是被定义在(a,b)上的函数。f’(x)称为导函数，简称导数

▼例：求y=1/x^2的导数(x≠0)

解：y=1/x^2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

任给一个x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

自变量有增量△x，x+△x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

函数y=1/x^2对应的增量
△y=1/(x+△x)^2-1/x^2=(-2x△x-△x^2)/[x^2(x+△x)^2]

作比值△y/△x=(-2x-△x)/[x^2(x+△x)^2]

求极限,当△x->0时，lim△y/△x=lim(-2x-△x)/[x^2(x+△x)^2]=-2/x^3

所以(1/x^2)’=-2/x^3

[定义2]设函数f(x)在x。点的左侧[x。+△x，x。]（△x<0）上有定义，如果当△x->0-时，lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x存在，则称此极限为f(x)在x。点的左导数，记为当△x->0-时，f’_(x。)=lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

类似的，设函数f(x)在x。点的右侧[x。，x。+△x]（△x>0）上有定义，如果当△x->0+时，lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x存在，则称此极限为f(x)在x。点的右导数，记为当△x->0+时，f’+(x。)=lim[f(x。+△x)-f(x。)]/△x

f(x)在x。处可导<==>f’_(x。)=f’+(x。)

如果f(x)∈D(a,b)，且f’_(a)和f’+(b)存在，
则称f(x)在[a,b]上可导，记为f(x)∈D[a,b]