在极坐标系下二重积分计算r的取值，什么时候可以用数字表示取值范围，什么时候必须用三角函数表示取值范围

Question

如 1、计算∫∫dxdy／（1+x²+y²） 区域D是由x²+y²≤1所确定的圆域。计算时r的取值范围就可以表示成0≤r≤1，0≤θ≤2π。
2、计算∫∫y²／x²dxdy,其中D是由曲线x²+y²≒2x所围成的平面区域。
解：0≤r≤2cosθ，－π/2≤θ≤π/2. (此题r取值范围为什么不能直接取0≤r≤2）
求高手指教。

Answer 1

什么时候可用数字表示取值范围，什么时候用三角函数表示取值范围。要根据实际情况来啊，区域的表达式中是数字就用数字，是三角函数就用三角函数，。
x²+y²≒2x即 (rsinθ)²+（rcosθ）²=2rcosθ 化简得边界曲线为r=2cosθ。（自己画图，极点在区域内）所以所积区域是0≤r≤2cosθ。
而0≤r≤2表示的区域是x²+y²≒4. 区域不一样。追问

∫∫（x²+y²）dσ，其中区域D是由y=x²与y=x所围成的区域。
解：（rcosθ）²=rcosθ → r=1/cosθ
0≤r≤1/cosθ 0≤θ≤π/4
这样解对吗

追答

对啊

Answer 2

和r的路径有关，例如，以原点为圆心，r的每一条路径取值范围相同，r取值用数字表示，以（0，1）为圆心，则r的每一条路径取值不同（以上半圆为例），所以用三角函数表示。