线性代数关于r(AB)>=r(A)+r(B)-n的证明，最后一步，为什么r(最后一个矩阵)>=r(

Question

线性代数关于r(AB)>=r(A)+r(B)-n的证明，最后一步，为什么r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)?

Answer 1

按列来看，对于最后一个矩阵，如果没有En，那么它的秩就是r(A)+r(B)
有了En以后，对于各个列向量，由于A所在的列向量组有了En的分量以后，不管原来是否线性无关，有了En以后一定是线性无关的，因此整个矩阵的秩总不至于减小，所以就是≥r(A)+r(B)了

Answer 2

按列来看，对于最后一个矩阵，如果没有En，那么它的秩就是r(A)+r(B)

有了En以后，对于各个列向量，由于A所在的列向量组有了En的分量以后，不管原来是否线性无关，有了En以后一定是线性无关的，因此整个矩阵的秩总不至于减小，所以就是≥r(A)+r(B)了

扩展资料：

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料：百度百科——线性代数

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Answer 3

考查最后一个矩阵行向量的秩即可

Answer 4

A列向量的一个极大无关组中每个向量加上对应的后置分量(0,0,...,0,1,0,...,0)^T，B列向量的极大无关组每个向量加上前置分量(0,0,...,0)^T，这样生成两组新的向量组，可以证明这两组合并起来的向量组是线性无关的。

Answer 5

我猜你大概问的是这个意思吧，具体如图。希望可以帮到你。