梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名。计算公式有S3: S4=ab:cd、S1:S2:S3:S4等。在相似图形中适用,在实际问题中使用要看具体问题。
在梯形中,存在以下关系:
相似图形,面积比等于对边比的平方也就是S1:S2=a^2/b^2
S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab ;S1:S3=S4:S2
S3=S4
S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
证明
左上角为A,右下角为B
S1和S2的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²:b² 设梯形高为h,S3+S2=1/2 bh=S4+S2。
所以S3=S4 设S4三角形高为h1(底为OB),可知S3:S1=S4:S1=OB:OA 。
因为S1和S2的的三角形是相似三角形,S4:S1=OB:OA=b:a 。
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab。