[线性代数]秩与线性相关1,(a1,a2,b1,b2,b3)=1 3 2 1 3...

Question

[线性代数]秩与线性相关 1, (a1,a2,b1,b2,b3)= 1 3 2 1 3 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R(A)=2=R(A,B) B=(b1,b2,b3)中有不等于0的2阶子式,故R（B）>或=2 这句话是怎么来的?B中为什么有2阶子式?是哪个?,R（B）>或=2 是为什么? 2,m个n维向量组成的向量组是什么样的? (a1 a2 a3.an)?m怎么体现? x1+x2+x3=0的基础解系a1=(1 0 -1 )T a2=(0 1 -1)T 我的计算是： x1=-x2-x3 x2=c1 x3=c2 所以解为： -c1-c2 +c1+0 +0+c2= (-c1 c1 0)T+(-c2 0 c2)T=c1(-1 1 0)T+c2(-1 0 1)T 基础解系为a1=(-1 1 0)T和a2=(-1 0 1)T才对啊？哪里错了？ ******************************************************** A= 0 0 1 1 1 x 1 0 0 求X的值，使A可以对角化 入1=-1 入2=入3=1 对应单根入1=-1，可以求得线性无关的特征向量恰有1个。 矩阵A可对角化的充要条件是入2=入3=1，有2个线性无关 的特征向量，即方程有2个线性无关的解，系数矩阵A-E 的秩R（A-E）=1 *在取入1=-1时，其特征向量为（-x -1 1）T， 这么一个向量怎么得出它是线性无关的？和谁无关？ *在取入2=入3=1时，程有2个线性无关的解，是指得出的 通解之间线性无关？ *为什么方程有2个线性无关的解，系数矩阵A-E 的秩R（A-E）要等于1？

Answer 1

书上有这样的一个推论：A存在r阶主子式不为零,同时r+1阶主子式全为0,那么有R(A)=r.至于主子式,只要其行列式不为零,随便选.例如本题1
3
2
1
30
2
1
1
1
中,随便选那两列.组成的行列式都是不为零的.所以至少有R（B）>或=2（＞是当3阶主子式不为0）m个n维向量组成的向量组是什么样的?(a1
a2
a3.an)?m怎么体现?——————————————————————————————这个就不好说了,要看你的n维向量的列数.如果n维向量,每维为K列则一共有km列了但不影响行数.仍为n,维代表的是行数!x1+x2+x3=0的基础解系a1=(1
0
-1
)T
a2=(0
1
-1)T我的计算是：x1=-x2-x3x2=c1x3=c2所以解为：-c1-c2+c1+0+0+c2=(-c1
c1
0)T+(-c2
0
c2)T=c1(-1
1
0)T+c2(-1
0
1)T基础解系为a1=(-1
1
0)T和a2=(-1
0
1)T才对啊?哪里错了?——————————————————————————a1=c1(-1
1
0)T和a2=c2(-1
0
1)T才对!系数不能丢!同时,你也知道c1,c2是不确定的,所以解向量的事实也可能是多种多样的,不一定答案是唯一的.——————————————————————————————在取入1=-1时,其特征向量为（-x
-1
1）T,这么一个向量怎么得出它是线性无关的?和谁无关?和其他的特征值对应的特征向量,在本题中,就是和x=1对应的两个特征向量不过,我需要告诉你的是：你根本不需要来判断（-x
-1
1）T是否和x=1对应的两个特征向量是否线性无关.有一个推论：不同的特征值对应的特征向量肯定是线性无关的!所以（-x
-1
1）T和x=1对应的两个特征向量自然线性无关!*在取入2=入3=1时,程有2个线性无关的解,是指得出的通解之间线性无关?是(A-E)x=0得出的两个解线性无关,也可以认为“通解中的两个解向量”之间线性无关.*为什么方程有2个线性无关的解,系数矩阵A-E的秩R（A-E）要等于1?有一个定理：对于AX=0,如果R(A)=r,则一定有n-r个线性无关的解向量.n为未知数个数,也可以认为是系数矩阵维数对于本题.方程有2个线性无关的解.可知R（A-E）=3-2=1（3为系数矩阵维数）