为什么圆的方程是隐函数？函数不是每一个x都有唯一的y与之对应吗？

Question

如题所述

Answer 1

根据函数的定义，每个x都必须是唯一的y值与之对应，所以圆的方程不是函数，所以也不可能是隐函数。隐函数也必须符合函数的定义。
但是在求圆的切线方程的时候，是可以用类似隐函数求导的方法，求相应切线的斜率的。
但这并不是说圆的方程就是个隐函数。
因为隐函数求导原则，是可以扩展到类似圆的方程，椭圆的方程等多值方程上的。

此外前面说的函数，在大学的数学专业中，定义为单值函数。
在数学专业中仿效单值函数定义了多值函数。
多值函数定义。 设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中至少存在一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个多值函数，记作y=f（x）。
所以如果按照多值函数的定义，圆的方程可以看成是个多值函数。不过多值函数的概念应该是大学数学专业以上才会涉及的吧。
非数学专业的大学其他专业学的数学，一般不会涉及多值函数的概念。

Answer 2

整个圆不是一个隐函数，但是加上区间范围就可以是隐函数，隐函数的定义是有连续导数，且是（单值函数），只能说圆上某个点(x0,y0)的一个邻域内的一段对应的函数是一个隐函数，所以要想取得隐函数，要么在圆的上半部分取一段，要么在圆的下半部分取一段，因为圆的左右两个端点不可导，也就是导数不连续。