高数求极限的一个题目，有些困惑

分子是（1-cos3x)sin2x-x^4sin(x^-1)
分母是ln(1+x^3)
疑惑是，什么时候可以等价无穷小代换。比如现在分母可以之间换为x^3吗？如果可以，那么分子呢？分子里面不是乘法，那可不可以局部换呢？比如（1-cos3x)sin2x ，这算两个部分相乘啊，可不可以换呢？如果换了，后面还有减法啊不知道怎么处理。什么时候该换什么时候不该换，求解答在线等，大一学生。

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推荐答案 2012-11-10

分母可以直接替换
分子因为有加减，所以不能随意替换，但可以尝试
比如这道题，（1-cos3x)sin2x与x^3同阶，即与分母同阶
所以可以把式子拆成两个部分
lim[（1-cos3x)sin2x]/x^3 - lim[x^4sin(x^-1)]/x^3
结果容易得出
但如果分母是4次，即等价无穷小低于分母的阶数，就不能拆分，因为拆分后极限不存在
在这种情况下，即使（1-cos3x)sin2x是相乘，也不能替换。
这时就要用洛必达法则、泰勒展开或有理化等方法处理追问

也就是说若能拆成两个式子就可以替换了吗？只要极限存在就能拆的对吗？
还有，为什么（1-cos3x)sin2x]/x^3同阶呢？是因为代换后了吗？

追答

只要极限存在就能拆

（1-cos3x)sin2x/x^3就只有乘除了，可以直接用无穷小替换
1-cos3x ~ (1/2)(3x)^2
sin2x ~ 2x

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第1个回答 2012-11-11

好的，我大二了，有空交流交流

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