已知函数f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R），(Ⅰ)当a≤ 时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x 2 -2bx+4，当a= 时

Question

已知函数f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R），(Ⅰ)当a≤ 时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x 2 -2bx+4，当a= 时，若对任意x 1 ∈(0，2)，存在x 2 ∈[1，2]，使f(x 1 )≥g(x 2 )，求实数b的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为 ， 所以 ， 令h(x)=ax 2 -x+1-a，x∈(0，+∞)， ①当a=0时，h(x)=-x+1，x∈(0，+∞)， 所以当x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； ②当a≠0时，由f′(x)=0，即ax 2 -x+1-a=0，解得x 1 =1， ， (ⅰ)当 时，x 1 =x 2 ，h(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减； (ⅱ)当 时， ，x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； (ⅲ)当a＜0时，由于 时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)在(1，+∞)上单调递增； 当 时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减； 当 时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)在 上单调递增， 函数f(x)在 上单调递减； (Ⅱ)因为 ，由(Ⅰ)知，x 1 =1，x 2 =3 (0，2)， 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为 ， 由于“对任意x 1 ∈(0，2)，存在x 2 ∈[1，2]，使f(x 1 )≥g(x 2 )” 等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值”， 又g(x)=（x-b） 2 +4-b 2 ，x∈[1，2]， 所以(ⅰ)当b＜1时，因为[g(x)] min =g(1)=5-2b＞0，此时与(*)矛盾； (ⅱ)当b∈[1，2]时，因为[g(x)] min =4-b 2 ≥0，同样与(*)矛盾； ③当b∈(2，+∞)时，因为[g(x)] min =g(2)=8-4b， 解不等式 ，可得 ； 综上，b的取值范围是 。