关于函数奇偶的一系列解题技巧及方法

Question

如题所述

Answer 1

一般地，对于函数f(x)
⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）和f(-x)=f(x），（x∈r，且r关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(-a）≠f(a），存在一个b，使得f(-b）≠f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
定义域互为相反数，定义域必须关于y轴对称
特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
编辑本段奇偶函数图像的特征奇函数图像的特征　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形
f(x）为奇函数<=>f(x）的图像关于原点对称
奇函数
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
点（x,y）→（-x,-y）偶函数图像的特征　　定理 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形
f(x）为偶函数<=>f(x）的图像关于Y轴对称
偶函数
点（x,y）→（-x,y）
偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。
编辑本段证明方法　　⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同
⑵图像法：　f(x）为奇函数<=>f(x）的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
f(x）为偶函数<=>f(x）的图像关于Y轴对称
点（x,y）→（-x,y）
⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。
⑷性质法
利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。
编辑本段性质　　1、偶函数没有反函数（偶函数在整个定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）
4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数
若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称