试确定一切有理数r，使得方程rx平方减(r加2)x加(r减1)等于零，有且只有整数根

如题所述

推荐答案 2012-10-16

根据推导x^2=1+(r-2)/r^2。要求x为整数，则1+(r-2)/r^2为某数的完全平方数。则(r-2)/r^2为整数，在r>3时，该部分不可能为整数，又负数和0显然不行，所以r<3.取r=1、2。
当r取分数时，2<r<3，记为r=1/a，原式变换为a-2a^2(其中1/3<a<1/2)。又要使a-2a^2为整数，则必然a-2a^2=0，a=0或a=1/2。则r为无穷大和2。
综上r取1、2和正负无穷大。

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第1个回答 2012-10-16

r=0 显然成立
r≠0时，其根为(r+2±√-3r^2+8r+4)/2r
-3r^2+8r+4=t为完全平方数
t=0 r=（8±√112）/6 原方程非实根
t=1 r=3or-1/3 得 r=-1/3有两个整数实根
t=4 r=0or8/3 均不符合
t=9 r=1or3/5 r=1符合条件 r=3/5不满足
t=16，25,36.。。。方程无解
故所有满足条件的r值为{0，-1/3，1}本回答被网友采纳

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