微积分数学例题 两道 有没有哪位强人帮我解决一下。。英文版的。。谢谢各位了。Ans是答案。。求过程。

Question

如题所述

Answer 1

1. 将阴影部分分成R1，R2两部分，也就是x轴以上以及以下两部分，则
R1={(x,y)| y²≤x≤1.5y+1, 0≤y≤2}
R2={(x,y)| y²≤x≤(-8/3)y+1, -3≤y≤0}
于是∫∫R xdA=∫∫R1 xdA+ ∫R2 xdA
=∫[0,2]dy∫[y², 1.5y+1] xdx+ ∫[-3,0]dy∫[y², (-8/3)y+1] xdx
=25
2. 把二次积分的积分区域画出来，是个以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，位于第一象限，记这个区域为R,则
R={(x,y)| 0≤x≤1, 0≤y≤(1-x²)^(1/2)}
={(r,t)}| 0≤r≤1, 0≤t≤π/2}
其中x=rcost,y=rsint-------极坐标变换，
于是原式=∫∫R e^(x²+y²)dxdy
=∫∫R e^(r²) rdrdt
=∫[0.π/2]dt∫[0,1] r×e^(r²)dr
=π(e-1)/4