设f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,f'(0)≠0，又F(x）在点x=0处亦可导，证明：F[f(x)]在x=0处可导。

Question

要有正规过程

Answer 1

因为 f'(0)≠0, 所以存在a>0, 使得 如果 0<|x|<a, 则 f(x) ≠0。 同时 当 x-->0时， f(x) -->0.
于是：
lim(x-->0) (F[f(x)]-F[f(0)])/x=
lim(x-->0)(F[f(x)]-F[f(0)])/(f(x)-f(0)) * (f(x)-f(0))/x
=lim(f(x)-->0)(F[f(x)]-F[0])/(f(x)-0) * lim(x-->0)(f(x)-f(0))/x
=F'(0)*f'(0)
所以极限存在，即导数存在。

Answer 2

考察极限lim(△x→0)｛F[f(△x)]-F[f(0)]｝/△x；f(0)=0①；由于f(x)在x=0处可导，即lim(△x→0)[f(△x)-f(0)]/△x=lim(△x→0)f(△x)/△x=f'(0)≠0，所以当△x→0时，f(△x)和△x是同阶无穷小量，所以f(△x)可以由△x替换，所以lim(△x→0)｛F[f(△x)]-F[f(0)]｝/△x=lim(△x→0)[F(△x)-F(0)]/△x②，由于F(x)在x=0处可导，即lim(△x→0)[F(△x)-F(x)]/△x=F'(0)≠∞，所以lim(△x→0)｛F[f(△x)]-F[f(0)]｝/△x=F'(0)≠∞，所以F[f(x)]在x=0处可导(证毕)。本回答被网友采纳

Answer 3

f（x)在0处连续，所以F（f(x))在0处连续，很显然的呀，所以可导

Answer 4

f﹙x﹚＝2x f﹙0﹚＝0 f＇﹙0﹚＝2≠0
F﹙x﹚＝｜x－2｜ F﹙x﹚在x＝0处可导 F＇﹙0﹚＝﹣1
F[f﹙x﹚]在x＝0处不可导