证明数列收敛的方法

Question

如题所述

Answer 1

先证明Xn是有下界的
（单调有界准则）
例如：Xn+1=(1/Xn)+Xn/2,
Xn肯定是大于零的，
因为Xn+1=Xn*[1/(Xn^2)+1/2], 中括号里的必定大于零，所以Xn+1与Xn是同号的，又X1=4，所以Xn>0.
所以Xn+1=(1/Xn)+Xn/2>2[(1/Xn)*Xn/2]^0.5=2^0.5, 即Xn的最小值为2^0.5

Xn+1/Xn=1/(Xn^2)+1/2, 因为Xn的最小值为2^0.5，所以1/(Xn^2)+1/2<=1
所以Xn+1/Xn<=1
所以数列Xn是单调减少的，根据单调有界准则知数列Xn有极限。

设Xn的界限为A， 则对Xn+1=(1/Xn)+Xn/2两端取极限，
有 A=1/A+A/2,
解这个方程得 A=2^0.5或-2^0.5， 舍去负根，得A=2^0.5
所以该数列的极限为2^0.5
还有夹逼准则，柯西准则等