求证下列多项式不可约。 x^4+x+1=0, x^4+x^3+1=0

Question

单墫《因式分解技巧》最后一节的练习
为什么两个是同理的?

Answer 1

这个题目应该准确地说是多项式在有理数域上是不可约的。
没有指明是哪个数域的话，就不能说它是不可约的。因为任何多项式（只要次数大于等于1）在复数上都 是可约的。
至于证明：
设f(x)=x^4+x+1, 则显然1,-1不是它的解，因此f(x)没有有理根。
若f(x)在有理数上是可约的，那么它只能分解成两个二次多项式的乘积。
不妨设f(x)=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)
把右边展开得到x^4+(a+b)x^3+(2+ab)x^2+(a+b)x+1
比较两边x^3与x的系数可得a+b=0且a+b=1所以矛盾。
从而f(x)在有理数上是不可约的。
对于另一个多项式也是一样的求法。因为我们比较的是x^3与x前面的系数，
而已知的式子中除了x^4与常数1外刚好是x与x^3.所以是同理的。