高一数学三角函数题-3

Question

已知sinb+2sin(2a+b)=0,且a不等于(k派/2),a+b不等于（派/2）+k派（k属于Z），则3tan(a+b)+tana=?

过程尽量表述清楚，谢谢！

Answer 1

解析：
sinb=sin(a+b-a)=sin(a+b)*cosa - cos(a+b)*sina
sin(2a+b)=sin(a+b+a)=sin(a+b)*cosa + cos(a+b)*sina
而sinb+2sin(2a+b)=0，那么：
sin(a+b)*cosa - cos(a+b)*sina + 2sin(a+b)*cosa + 2cos(a+b)*sina=0
即3sin(a+b)*cosa + cos(a+b)*sina=0
3sin(a+b)*cosa = - cos(a+b)*sina
3sin(a+b)/cos(a+b)=-sina/cosa
所以：3tan(a+b)=-tana
即3tan(a+b)+tana=0

Answer 2

sinb=sin(a+b-a)=sin(a+b)*cosa - cos(a+b)*sina
sin(2a+b)=sin(a+b+a)=sin(a+b)*cosa + cos(a+b)*sina
而sinb+2sin(2a+b)=0，那么：
sin(a+b)*cosa - cos(a+b)*sina + 2sin(a+b)*cosa + 2cos(a+b)*sina=0
即3sin(a+b)*cosa + cos(a+b)*sina=0
3sin(a+b)*cosa = - cos(a+b)*sina
3sin(a+b)/cos(a+b)=-sina/cosa
所以：3tan(a+b)=-tana
即3tan(a+b)+tana=0

Answer 3

sinb=sin((a+b)-a),sin(2a+b)=sin((a+b)+a),分别这样拆并用和角公式打开,整理得3sin(a+b)cosa+sinacos(a+b)=0,由范围的条件可以得到cosa和cos(a+b)均不为0,方程两边同处以cosa* cos(a+b)得3tan(a+b)+tana=0.