设F为抛物线y^2=4x的焦点

Question

A,B,C为该抛物线上三点,若A(1,2）三角形ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在的直线方程

Answer 1

设B(x1,y1) C(x2,y2),
设BC中点D(x0,y0)
∴x0=(x1+x1)/2, y0=(y1+y2)/2
∵△ABC的重心与抛物线的焦点F重合，
∴y^2=4x的焦点F(1,0)
∴
1=(x1+x2+1)/3
0=(y1+y2+2)/3
得到x1+x2=2, y1+y2=-2
所以D(1,-1)
把B C带入抛物线方程得到：
y1^2=4x1，
y2^2=4x2
两式相减得到
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
∴
BC斜率=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=-2
因为D在直线BC上，
所以BC方程y+1=-2（x-1)
即 2x+y-1=0

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