一道六年级奥数题

Question

一列数列,1,2,3,5,8,13,21,... ...从第三项开始每一项是前两项的和,此数的第2000项除以8的余数是多少?

在线等,明天要参加比赛,这是样卷的其中一题,请把过程写完整,思路也写下,

Answer 1

因为你才六年级，所以这个题不能用数列的方法和你讲，只能告诉你找规律了，呵呵，希望我讲的你能喜欢。
由于该数列从第三项开始每一项是前两项的和，所以后面的一项除以8的余数也是前面两个数除以8的余数之和再除以8所得到的余数（因为前面两个数的余数加起来可能超过7）
然后我们就开始找规律
有了以上的结论，我们先写出前面几个数除以8所得到的余数
（注意：后面的一项除以8的余数也是前面两个数除以8的余数之和再除以8所得到的余数）
第1项除以8的余数为1
第2项除以8的余数为2
第3项除以8的余数为3，即为1+2再除以8，得到的余数3
第4项除以8的余数为5，即为2+3再除以8，得到的余数5
第5项除以8的余数为0，即为3+5再除以8，得到的余数0
第6项除以8的余数为5，即为5+0再除以8，得到的余数5
第7项除以8的余数为5，即为0+5再除以8，得到的余数5
第8项除以8的余数为2，即为5+5再除以8，得到的余数2
第9项除以8的余数为7，即为5+2再除以8，得到的余数7
第10项除以8的余数为1，即为2+7再除以8，得到的余数1
第11项除以8的余数为0，即为7+1再除以8，得到的余数0
第12项除以8的余数为1，即为0+1再除以8，得到的余数1
第13项除以8的余数为1，即为0+1再除以8，得到的余数1
第14项除以8的余数为2，即为1+1再除以8，得到的余数2

这时你可以发现从第13项起，就和前面第一项起完全一样了，也就是说这列数除以8的余数是有规律的，周期是12，即这个数除以8的余数与它之后12个数除以8得到的余数相同。

因为2000/12=166……8
也就是说第2000个数除以8的余数和第8个数一样，因为第8个数除以8的余数是2，所以第2000个数除以8的余数也是2

希望我说的你能够明白。
祝你明天比赛顺利！！！

Answer 2

我用抽象代数的知识做一下，
1除以8余1，2除以8余2，可以把所有的数都化为除以8的余数，仍按原数列的加法运算。比如第4个数是5，第5个数是0，第6个数就是5。
把第1至第17个数的所有余数写出来，你会发现第4个数的余数是5，第5个数的余数是0，第16个数的余数是5，第17个数的余数是0，这是个循环，从第6个开始每十二个一组。2000=5+12×166+3，所以2000的余数为循环中的第三个数，是2。
大体意思是这样，有可能算错了。

Answer 3

菲波那契数列
本数列中的数除以8的余数为：
1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1， 1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，
……
每12个数为1组，2000除以12余8，第8个数为2
此数列的第2000项除以8的余数是2本回答被提问者采纳

Answer 4

那么简单，第一至第十九个数分别除以8的余数分别是1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1
1 2 3 5 0 5 5.....发现了吗？从第十三个数开始循环，也就是说每十二个数循环一

次，第2000项除以8的余数是2000除以12得166余数是8。在这十二个余数1 2 3 5 0 5

5 2 7 1 0 1中第8个余数是2，2就是所求。我的QQ是670571456。

Answer 5

1除8余1……①
2除8余2……②
3除8余3
5除8余5
8除8余0
13除8余5
21除8余5
34除8余2
55除8余7
89除8余1
144除8余0
233除8余1
377除8余1……③
610除8余2……④
………………………………
余数终于出现循环①②……③④……
因为2000/12余8
所以第2000项除以8的余数相当于34除8余2