高数第二类曲面积分

Question

被积函数（xzdydz+x^2ydxdz+y^2dxdy）S是z=x^2+y^2,x^2+y^2=1与三坐标面在第一卦限所谓立体的边界曲线

Answer 1

解：原式=∫∫∫<V>(x²+z)dxdydz
(应用奥-高定理，V是z=x²+y²,x²+y²=1与三坐标面在第一卦限围城的体积)
=∫<0,1>dx∫<0,√(1-x²)>dy∫<0,x²+y²>(x²+z)dz
=∫<0,1>dx∫<0,√(1-x²)>[x²(x²+y²)+(x²+y²)²/2]dy
=∫<0,π/2>dθ∫<0,1>(r^4cos²θ+r^4/2)rdr (作极坐标变换)
=(1/6)∫<0,π/2>(cos²θ+1/2)dθ
=(1/6)∫<0,π/2>[1+cos(2θ)/2]dθ
=(1/6)[π/2+sin(π)/4]
=π/12。